Question

已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F．
如圖甲，當AC=BC時，且CE=EA時，則有EF=EG；
（1）如圖乙①，當AC=2BC時，且CE=EA時，則線段EF與EG的數量關系是：EF

 

EG；
（2）如圖乙②，當AC=2BC時，且CE=2EA時，請探究線段EF與EG的數量關系，并證明你的結論；
（3）當AC=mBC時且CE=nEA時，則線段EF與EG的數量關系，并直接寫出你的結論（不用證明）．

Answer 1

分析：本題需要尋找相似三角形，并利用相似三角形的性質依次推理得出結論．

解答：圖甲：連接DE，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=

1

2

AB，
∵AE=EC，
∴DE=AE=EC=

1

2

AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（1）EF=

1

2

EG；

（2）解：EF=

1

4

EG．
證明：作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

3

即EM=

1

3

CD，
同理可得，EN=

2

3

AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

2

，
∴

EM

EN

=

1 3 CD

2 3 AD

=

CD

2AD

=

1

2

•

CD

AD

=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

4

，
即EF=

1

4

EG；

（3）由（1）當AC=2BC時，且CE=EA時，EF=

1

2

EG，
當AC=2BC時，且CE=2EA時，EF=

1

4

EG，
可以得出：當AC=mBC時且CE=nEA時，EF=

1

mn

EG．

點評：本題關鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質求解，難度較大．