Question

【題目】數學活動課上，小穎同學用兩塊完全一樣的透明等腰直角三角板ABC、DEF進行探究活動．

操作：使點D落在線段AB的中點處并使DF過點C(如圖1)，然后將其繞點D順時針旋轉，直至點E落在AC的延長線上時結束操作，在此過程中，線段DE與AC或其延長線交于點K，線段BC與DF相交于點G(如圖2，3)．

探究1：在圖2中，求證：△ADK∽△BGD．

探究2：在圖2中，求證：KD平分∠AKG．

探究3：

①在圖3中，KD仍平分∠AKG嗎？若平分，請加以證明；若不平分，請說明理由．

②在以上操作過程中，若設AC=BC=8，KG=x，△DKG的面積為y，請求出y與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】探究1：證明見解析；探究2：證明見解析；探究3：y=2x，其中4≤x≤8-8．

【解析】

試題探究1，根據△ABC、△DEF是等腰直角三角形可知∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，由三角形內角和定理可知∠KDA+∠BDG=135°．∠BDG+∠BGD=135°，故可得出△ADK∽△BGD；

探究2，根據△ADK∽△BGD可知，再由點D是線段AB的中點得出BD=AD，故可得出△ADK∽△DCK，∠AKD=∠DKC，由此可得出結論；

探究3，①同探究1可得△ADK∽△BGD，同探究2可得，△ADK∽△DGK，故可得出結論；

②過點D作DM⊥AC于點M，DN⊥KG于點N，由①知線段KD平分∠AKG，故DM=DN．再由AC=BC=8，點D是線段AB的中點，∠KAD=45°，可知DM=DN=4．根據三角形的面積公式即可得出結論．

試題解析：探究1，

∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，

∴∠KDA+∠BDG=135°．

∵∠BDG+∠BGD=135°，

∴∠KDA=∠BGD，

∴△ADK∽△BGD；

探究2，∵△ADK∽△BGD，

∴，

∵點D是線段AB的中點，

∴BD=AD，

∴，

∴，

∵∠KAD=∠KDG=45°，

∴△ADK∽△DCK，

∴∠AKD=∠DKC，

∴KD平分∠AKG．

探究3，①KD仍平分∠AKG．

理由如下：

∵同探究1可得△ADK∽△BGD，

同探究2可得，△ADK∽△DGK，

∴∠AKD=∠DKG，

∴KD仍平分∠AKG；

②如圖，過點D作DM⊥AC于點M，DN⊥KG于點N，

由①知線段KD平分∠AKG，

∴DM=DN．

∵AC=BC=8，點D是線段AB的中點，∠KAD=45°，

∴DM=DN=4．

∵KG=x，

∴S△DKG=y=×4x=2x，

對于圖3的情況同理可得y=2x，

綜上所示，y=2x，其中4≤x≤8-8．