Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=5cm，△CDE的周長為12cm，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質得FE垂直平分AO，EA=EC，則∠EAC=∠ECA，由AE∥CF得∠FCA=∠EAC，則∠FCA=∠ECA，而CO⊥EF，所以CO平分EF，則AC與EF互相垂直平分，然后根據菱形的判定方法即可得到結論；
（2）由于EC=EA=5cm，而△CDE的周長為12cm，則DE+DC=7cm，即DE=7-DC，在Rt△DEC中利用勾股定理可求出DC，然后計算矩形的面積．

解答：（1）證明：∵矩形紙片ABCD折疊一次，使點A與點C重合，
∴FE垂直平分AO，EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AE∥CF，
∴∠FCA=∠EAC，
∴∠FCA=∠ECA，
而CO⊥EF，
∴CO平分EF，
∴AC與EF互相垂直平分，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）解：∵EC=EA=5cm，
而△CDE的周長為12cm，
∴DE+DC=7cm，即DE=7-DC，
∵DE²+DC²=EC²，
∴（7-DC）²+DC²=5²，解得DC=3或4，
當DC=3cm時，DE=4cm，AD=5cm+4cm=9cm，則S_矩形ABCD=3×9=27（cm²）；
當DC=4cm時，DE=3cm，AD=5cm+3cm=8cm，則S_矩形ABCD=4×8=32（cm²）；
∴S_矩形ABCD=27cm²或32cm²．

點評：本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．也考查了勾股定理、菱形的判定方法以及矩形的性質．