Question

【題目】如圖（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點(diǎn)做與OB垂直的直線ON．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC﹣CO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO﹣ON以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求OC、BC的長；

（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）OC=2，BC=2；（2）S與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=；（3）當(dāng)t為或時(shí)，△OPM是等腰三角形．

【解析】整體分析：

（1）先求出OA，判斷OC=CB，再在Rt△AOC中用勾股定理列方程求解；（2）分點(diǎn)P在BC上，與點(diǎn)C重合，在CO上，與點(diǎn)O重合四種情況分類討論，注意畫出相應(yīng)的圖形，利用三角形的面積公式和三角形面積的和差關(guān)系求解；（3）因?yàn)榈妊�三角形的腰不確定，所以需要分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)列方程求解.

（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴∠B=30°，∴OA=OB=，

由勾股定理得：AB=3，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，

在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴()+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，

答：OC=2，BC=2．

（2）解：①當(dāng)P在BC上，Q在OC上時(shí)，0＜t＜2，則CP=2﹣t，CQ=t，

過P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，

∴CH=CP=（2﹣t），HP=（2﹣t），

∴S△CPQ=CQ×PH=×t×（2﹣t），

即S=﹣t2+t；

②當(dāng)t=2時(shí)，P在C點(diǎn)，Q在O點(diǎn)，此時(shí)，△CPQ不存在，

∴S=0，

③當(dāng)P在OC上，Q在ON上時(shí)2＜t＜4，

<>過P作PG⊥ON于G，過C作CZ⊥ON于Z，

∵CO=2，∠NOC=60°，∴CZ=，CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，

∴∠GPO=30°，∴OG=OP=（4﹣t），PG=（4﹣t），

∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=×（t﹣2）×﹣×（t﹣2）×（4﹣t），

即S=t2﹣t+．

④當(dāng)t=4時(shí)，P在O點(diǎn)，Q在ON上，如圖（3）

過C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，

∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=BC=1，

有勾股定理得：BM=，

∵OB=2，∴OM=2﹣==CK，∴S=PQ×CK=×2×=；

綜合上述：S與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=；

（3）解：如圖（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB=90°，

∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°，

①OM=PM時(shí)，∠MOP=∠MPO=30°，

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠MPO=90°，

∴OP=2OQ，∴2（t﹣2）=4﹣t，解得：t=，

②PM=OP時(shí)，∠PMO=∠MOP=30°，

∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此時(shí)不存在；

③OM=OP時(shí)，過P作PG⊥ON于G，OP=4﹣t，∠QOP=60°，

∴∠OPG=30°，∴GO=（4﹣t），PG=（4﹣t），

∵∠AOC=30°，OM=OP，∴∠OPM=∠OMP=75°，

∴∠PQO=180°﹣∠QOP﹣∠QPO=45°，∴PG=QG=（4﹣t），

∵OG+QG=OQ，∴ （4﹣t）+（4﹣t）=t﹣2，解得：t=

綜合上述：當(dāng)t為或時(shí)，△OPM是等腰三角形．