Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C．

（1）求直線AC的解析式；

（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥AC，垂足為D，當線段PD的長度最大時，點Q從點P出發，先以每秒1個單位的速度沿適當的路徑運動到y軸上的點M處，再沿MC以每秒3個單位的速度運動到點C停止，當點Q在整個運動中所用時間t最少時，求點M的坐標；

（3）如圖2，將△BOC沿直線BC平移，平移后B，O，C三點的對應點分別是B′，O′，C′，點S是坐標平面內一點，若以A，C，O′，S為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點S的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣2；（2）M（0，），（3）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）

【解析】分析：(1)、根據題意分別求出點A和點C的坐標，然后利用待定系數法求出函數解析式；(2)、過點P作PE∥y軸交直線AC于點E，設出點P的坐標，從而得出PE的長度，根據△PDE和△AOC相似得出PD的長度，然后證明出△CHM和△COF相似，△PKM和△COF相似，從而求出點M的坐標；(3)、根據菱形的性質分別分五種情況進行討論，得出點P的坐標．

詳解：（1）當y=0時，﹣x2﹣x﹣2=0，解這個方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，

∴點A（﹣6，0），B（﹣1，0）， 當x=0時，y=﹣2， ∴C（0，﹣2），

設直線AC的解析式為：y=ax+b（a≠0），

將點A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：， ∴，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2；

（2）如圖1，過點P作PE∥y軸交直線AC于點E，

設P（a，﹣），則點E（a，﹣﹣2），

∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，

∵AO=6，OC=2， ∴AC===2，

∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO， ∴△PDE∽△AOC， ∴=，

∴PD=PE==﹣﹣， 對稱軸是：a=﹣3，

∵﹣，

∴當a=﹣3時，PD的長度最大，此時點P的坐標為（﹣3，2），

如圖1所示，在x軸上取點F（1，0），連接CF并延長，

∴CF===3， ∴sin∠OCF==，

點M是y軸上一點，過點M作MH⊥CF于點H，

由△CHM∽△COF，可知： =， ∵t==PM+MH，

如圖2，當P、M、H在同一直線上時，t的值最小，此時，過P作PK⊥y軸于K，

由△PKM∽△COF，可知： =2， ∴KM=， ∴M（0，），

（3）如圖3，當四邊形ACSO'是菱形時，過S作SG⊥y軸于G，延長O'C'交x軸于H，

∵四邊形ACSO'是菱形， ∴AO'=AC=SC，AO'∥SC， ∴∠AMC=∠BCS，

∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS， ∵∠MC'O'=∠BCO， ∴∠AO'H=∠OCS，

∵∠AHO'=∠CGS， ∴△O'AH≌△CSG， ∴AH=SG，O'H=CG，

Rt△OCB中，sin∠OCB==， ∴sin∠BC'H==，

設BH=x，則BC'=3x， ∴C'H=2x， ∴AH=SG=5﹣x， ∵O'C'=OC=2，

∴C'H=OG=2x， 由勾股定理得：AC2=O'A2， ∴AO2+OC2=O'H2+AH2，

∴=（5﹣x）2+（2+2x）2， 解得：x=，

當x=時，SG=5﹣x=，OG=2x=，

當x=＜0時，不符合題意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，

此時S的坐標為：或；

②如圖4，過S作SH⊥AO于H，延長O'B'到y軸交于G， ∵SE∥CF，EC∥SF，

∴四邊形SECF是平行四邊形， ∴∠ESF=∠ECF， ∵四邊形ASO'C是菱形，

∴∠ASO'=∠ACO'， ∴∠ASH=∠O'CG， 同理得：△ASH≌△O'CG， ∴AH=O'G，SH=CG，

sin∠GCB'==， 設GB'=x，則CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=1+x，

由勾股定理得：AC2=O'C2， ∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2，解得：x=，

當x=時，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，

當x=＜0時，不符合題意，舍去，

此時，點S的坐標為：（，）；

③如圖5，AC為對角線時，同理可得S（，）

④如圖6，過S作SE⊥x軸于E，延長B'O'交y軸于H，延長O'C'交x軸于G，

設GB'=x，則CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=O'H=1+x， ∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，

易得△SEA≌△CHO'， 同理可得S（，）；

⑤如圖7，過S作SH⊥x軸于H，過O'作O'E⊥SH于E，延長C'O'交x軸于G，

設OG=x，則BG=1+x， ∵O'B'∥BG， ∴， ∴，

∴C'G=2（1+x）， ∴O'G=C'G﹣C'O'=2x， ∴AG=1+x，

同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，

解得：x1=，x2=（舍）， 可得S；

綜上所述，S的坐標為：或或（，）或（，）或（，）．