Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（0，8），B（4，0），AB的垂直平分線交y軸與點D，連接BD，M（a，1）為第一象限內的點

（1）則D（____， ____），并求直線BD的解析式；

（2）當時，求a的值；

（3）點E為y軸上一個動點，當△CDE為等腰三角形時，求E點的坐標.

Answer 1

【答案】（0,3），BD的解析式為；（2）a=6；（3）E（0， ）

【解析】試題分析：（1）設OD=x，則AD=8-x，由線段垂直平分線的性質得出BD=AD=8-x，在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；直線BD的解析式為y=kx+b，由待定系數法即可得出答案；

（2）由題意得出△DBC與△DBM是等高的三角形得出直線BD與直線CM平行，求出直線CM的解析式為y=-x+；把M（a，1）代入求出a=6即可；

（3）由勾股定理求出AB，得出AC=2，由勾股定理求出CD==，分三種情況：①DC=DE時；②CE=CD時；③EC=ED時；分別求出點E的坐標即可．

試題解析：(1)∵A(0,8),B(4,0)，

∴OA=8，OB=4，

設OD=x，則AD=8x，

∵AB的垂直平分線交y軸于點D，

∴BD=AD=8x，

在Rt△BOD中,由勾股定理得：x2+42=(8x)2，

解得：x=3，

∴D(0,3)；

故答案為：0，3；

設BD的解析式為y=kx+b

把B（4，0）D（0，3）代入y=kx+b得：

解得

則y=，

(2) ∵S△DBC=S△DBM時

∴△DBC與△DBM是等高的三角形

∴直線BD與直線CM平行

設CM的解析式為y=

又∵C(2，4)

∴CM的解析式為y=

又∵M（a，1）且在第一象限

∴a=6 .

(3) 由勾股定理得，AB=，

∵點C為邊AB的中點，

∴AC=AB=×4=2，AD=5

∴CD=

設E(0，x)，則DE=∣x-3 ∣,D（0，x）

①DC=DE時，

∴=∣x-3 ∣

∴x=或x=

∴E（0， ）或（0， ）；

②CE=CD時，過C作CF⊥AO交AO于F，

∴F為DE的中點，且F (0，4)

∴EF=DF=1

∴x-4=1

∴x=5

E（0，5）

③ EC=ED時，過E作EQ⊥CD于Q，

則EQ∥AB，

∴Q為CD的中點，

∴E為AD的中點，

∴AE=ED，

∴8x=x3，

解得：x=，

E(0， )；

綜上所述：當△CDE為等腰三角形時，E點的坐標為(0， +3)或(0，+3)或(0，5)或(0， ).