Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若AD=2

6

，AE=6

2

，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的判定定理，垂直經過半徑外端直線是圓的切線，連接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）由切割線定理，得：AE²=AD•AB，根據切割線定理即可求出BD的長，由此得解．

解答：（1）證明：連接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于點E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CBE，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）解：∵AE是圓O的切線，AB是圓的割線，
根據切割線定理：AE²=AD×AB，
∵AD=2

6

，AE=6

2

，
∴（6

2

）²=2

6

×（2

6

+BD），
解得：BD=4

6

．
∴BD的長是：4

6

．

點評：此題主要考查了切線的判定定理與切割線定理，此定理是初中階段非常重要的定理，同學們應正確把握此定理．