Question

已知二次函數．

1.當時，函數值隨的增大而減小，求的取值范圍；

2.以拋物線的頂點為一個頂點作該拋物線的內接正（，兩點在拋物線上），請問：△的面積是與無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

3.若拋物線與軸交點的橫坐標均為整數，求整數的值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.因為

所以拋物線的對稱軸為，                             ……………… 1分

因為要使時，函數值y隨x的增大而減小，

所以由圖像可知對稱軸應在直線右側，從而m≥2.

2.（方法一）根據拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設拋物線的對稱軸與交于點，則，設，∴，…………………  4分

又

     ，…………………  5分

∴，∴，…………………  6分

∴，，                 

∴定值；…………………7分

 

（方法二）由頂點以及對稱性，設，  …………………  4分

則M,N的坐標分別為 ，  5分

因為M，N兩點在拋物線上，

所以，              …………………  6分

即，解得，           

所以（與m無關）；

3.令，即時，              

 有，             …………………  9分

由題意，為完全平方數，令，    

即，  ∵為整數，∴的奇偶性相同，

∴或解得或

綜合得.

【解析】（1）根據拋物線的對稱軸求得

（2）根據拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設拋物線的對稱軸與交于點，則，設，求得BM、AB的值，從而求得△的面積

（3）令，即時，有x= ,由題意，為完全平方數，令，即，解方程求值