Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，并延長BE交DF于點G．

（1）求證：△BDG∽△DEG；

（2）若EGBG=4，求BE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2） 4

【解析】

試題分析：（1）根據圖形的旋轉的性質可得△BCE≌△DCF，可得∠FDC=∠EBC，根據BE平分∠DBC，可得∠DBE=∠EBC，從而得到∠FDC=∠EBD，∠DGE是公共角可得出結論；（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根據相似求出DG的長，即可求出答案．

試題解析：（1）∵將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC=∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∴∠FDC=∠EBD，∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG；

（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22．5°=∠FDC，∴∠BDF=45°+22．5°=67．5°，∠F=90°﹣22．5°=67．5°=∠BDF，∴BD=BF，∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67．5°=∠DEG，∴∠DGB=180°﹣22．5°﹣67．5°=90°，即BG⊥DF，∵BD=BF，∴DF=2DG，∵△BDG∽△DEG，BG·EG=4，∴，∴BG·EG=DG·DG=4，∴DG=2，∴BE=DF=2DG=4．