Question

如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連結AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求證：AC是⊙O的切線：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.

試題分析：（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程，求出即可．
試題解析: (1)證明：連結OA、OD，

∵D為下半圓BE的中點，
∴∠BOD=∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，
∵OA為半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O半徑是r，∴OD=r，OF=8﹣r，
又∵在Rt△DOF中，OD²+OF²=DF²,
∴，
解得，，，
當時，OF=（符合題意），
當時，OF=（不合題意，舍去），
∴⊙O的半徑r為6.
考點: 切線的判定.