Question

已知關于x的方程是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于224？若存在，求出滿足條件的m的值．

Answer 1

解：假設存在，則有x₁²+x₂²=224．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．
即（4m-8）²-2×4m²=224，
∴m²-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m₁=10，m₂=-2．
∵△=（m-2）²-m²=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=10，m₂=-2都不符合題意，
故不存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于224．
分析：利用根與系數的關系，化簡x₁²+x₂²=224，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．根據根與系數的關系即可得到關于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．考查了根與系數的關系，也考查了存在性問題的解題方法和格式．