Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點P₀坐標為（1，0），將線段OP0繞點O順時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；將線段OP₁繞點O順時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，…，這樣依次得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n．則點P₂的坐標為             ；
當n=4m+1（m為自然數）時，點P_n的坐標為             ．

Answer 1

（0，-4）；或．

試題分析：根據點P₀坐標求出OP₀，然后分別求出OP₁，OP₂，OP₃，OP₄，…，OP_n，再根據點P₂在y軸負半軸寫出坐標即可；分m是奇數和偶數兩種情況確定出點P_n所在的象限，然后根據等腰直角三角形的性質寫出坐標即可：
∵P₀的坐標為（1，0），∴OP₀=1.
∴OP₁=2，OP₂=2×2=2²， OP₃=2²×2=2³， OP₄=2³×2=2⁴，…， OP_n=2^n-1×2=2ⁿ.
∵每次旋轉45°，點P₀在x軸正半軸，
∴點P₂在y軸負半軸. ∴點P₂的坐標為（0，-4）.
∵OP_n為所在象限的平分線上，∴.
①m為奇數時，點P_n在第二象限，點；
②m為偶數時，點P_n在第四象限，
綜上所述，點P_n的坐標為或．