Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，，以BC為直徑作交AB于點E，D為AC邊的中點，連接OD、DE，

（1）求證：DE是的切線．

（2）填空：①若，，則的半徑長是__________．

②當∠A＝__________時，四邊形OCDE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）① ；② 45°

【解析】

（1）連接OE、CE，由圓周角定理得出∠BEC=90°，則∠AEC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AD=CD=DE，由等腰三角形的性質得出∠DEC=∠DCE，∠OCE=∠OEC，證出∠OED=90°，即可得出結論；

（2）①由勾股定理求出CE=2，證△OCE∽△DAE，得出比例式，求出OC的長即可；

②證△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC=45°，證四邊形OCDE是矩形，由OC=OE，即可得出四邊形OCDE是正方形．

（1）證明：連接OE、CE，如圖所示：

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BEC=90°，

∴∠AEC=90°，

∵D是AC的中點，

∴DE=AC=AD=CD，

∴∠DEC=∠DCE，

∵OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠OED=90°，即OE⊥DE，

∵E為⊙O上的點，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：①∵AC=3，

∴AD=DE=AC=，

∵∠AEC=90°，

∴，

∵∠BEC=90°，

∴∠CBE+∠OCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBE+∠DAE=90°，

∴∠OCE=∠DAE，

∵AD=DE，OC=OE，

∴∠OCE=∠OEC=∠DAE=∠DEA，

∴△OCE∽△DAE，

∴，

即，

解得：OC=3，

故答案為：3；

②當∠A=45°時，四邊形OCDE是正方形；理由如下：

∵∠A=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB=45°，

∴∠COE=∠OBE+∠OEB=45°+45°=90°，

∵∠ACB=90°，∠OED=90°，

∴四邊形OCDE是矩形，

∵OC=OE，

∴四邊形OCDE是正方形；

故答案為：45°．