Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．
（1）填空：∠CAM=__________度；
（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；
（3）當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】30；

【解析】（1）根據等邊三角形的性質可以直接得出結論；
（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠BCE=∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情況討論：當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出結論；當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結論；當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵線段AM為BC邊上的中線
∴∠CAM=∠BAC，
∴∠CAM=30°．
故答案為：30；
（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：
①當點D在線段AM上時，如圖1，

由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線
∴AM平分∠BAC，即∠BAM=∠BAC=×60°=30°
∴∠BOA=90°-30°=60°．
②當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，
同理可得：∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
③當點D在線段MA的延長線上時，如圖3，

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
同理可得：∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
綜上，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB=60°．

“點睛”邊三角形的性質的運用，直角三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．