Question

有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如下圖所示，正常水位下水面寬AB=60米，水面到拱頂距離CD=18米，當(dāng)洪水泛濫，水面寬MN=32米時(shí)是否需要采取緊急措施？請說明理由（當(dāng)水面距拱頂3米以內(nèi)時(shí)需采取緊急措施）．

Answer 1

分析：由CD為弓形AB的高，得弧AB的圓心在直線CD上，設(shè)圓心為O，連OM，OA，AB=60m，CD=18m，MN=32m，則AC=BC=30m，ME拱=NE=16m，
在Rt△OAC中，利用勾股定理求出半徑，再在Rt△OME中，利用勾股定理計(jì)算出OE，即可得到水面寬MN=32米的拱高，若大于3則不需要采取緊急措施．

解答：解：不需要采取緊急措施．
理由如下：
∵CD為弓形AB的高，
∴弧AB的圓心在直線CD上，
設(shè)圓心為O，連OM，OA，如圖，
AB=60m，CD=18m，MN=32m，
根據(jù)題意得，AC=BC=30m，ME=NE=16m，
設(shè)圓的半徑為R，
在Rt△OAC中，OC=R-18，
∴R²=30²+（R-18）²，
解得，R=34，
在Rt△OME中，OE=

OM2-ME2

=

342-162

=30，
∴DE=OD-OE=34-30=4（m）．
∵當(dāng)水面距拱頂3米以內(nèi)時(shí)需采取緊急措施，
∴水面寬MN=32米時(shí)不需要采取緊急措施．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理．