Question

【題目】如圖，已知拋物線經過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，）；（3）Q（﹣4，1），Q（3，1）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；

（2）設點P（m，），表示出PE=，再用S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE，建立函數關系式，求出極值即可；

（3）先判斷出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況計算即可．

試題解析：（1）∵點A（0，1）．B（﹣9，10）在拋物線上，∴，∴，∴拋物線的解析式為；

（2）∵AC∥x軸，A（0，1）

∴=1，∴=6，=0，∴點C的坐標（﹣6，1），∵點A（0，1）．B（﹣9，10），∴直線AB的解析式為y=﹣x+1，設點P（m，），∴E（m，﹣m+1），∴PE=﹣m+1﹣（）=，∵AC⊥EP，AC=6，∴S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=AC×EF+AC×PF=AC×（EF+PF）

=AC×PE=×6×（）==

∵﹣6＜m＜0，∴當m=﹣時，四邊形AECP的面積的最大值是，此時點P（，）．

（3）∵=，∴P（﹣3，﹣2），∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，∴PF=CF，∴∠PCF=45°；

同理可得：∠EAF=45°，∴∠PCF=∠EAF，∴在直線AC上存在滿足條件的Q，設Q（t，1）且AB=，AC=6，CP=．∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，①當△CPQ∽△ABC時，∴，∴，∴t=﹣4，∴Q（﹣4，1）；

②當△CQP∽△ABC時，∴，∴，∴t=3，∴Q（3，1）．

綜上所述：Q（﹣4，1），Q（3，1）．