Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：
①∠BOC=90°+

1

2

∠A； 
②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
③設OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=

1

2

mn；
④EF是△ABC的中位線．其中正確的結論是

 

．

Answer 1

分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的性質與內角和定理，即可求得①正確；
由EF∥BC，與角平分線的性質，即可證得△OBE與△OCF是等腰三角形，根據兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系，即可證得②正確；
利用角平分線的性質與三角形的面積的求解方法，即可證得③正確．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A，故①正確；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠OCF，
∴BE=EO，FC=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故②正確；
連接AO，過點O作OM⊥BC于M，過點O作ON⊥AB于N，
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴OD=OM=ON=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

AE•ON+

1

2

AF•OD=

1

2

OD•（AE+AF）=

1

2

mn，故③正確．
∵無法確定E，F是中點，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：此題考查了圓與圓的位置關系，角平分線的性質，平行線的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．