Question

如圖：在□ABCD中，對角線與BD交于點O,過點O的直線EF分別與AD、BC交于點E、F， EF⊥AC，連結AF、CE.  

（1）求證：OE=OF
（2）請判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，請證明你的結論；
（3）若∠EAF=60°，AE=6，求四邊形AECF的面積.

Answer 1

（1）見解析（2）菱形，證明見解析（3）

(1)證明:在□ABCD中，對角線與BD交于點O,得
AE∥CF, OA=OC，∠AOE=∠COF,
∴∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF （ASA）
∴ OE=OF--------------3分
（2）四邊形AECF是菱形。理由如下：
∵OE=OF，OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形。（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
又 ∵EF⊥AC
∴□。（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）-----3分
（3）在菱形AECF中，EF⊥AC，∠EAF=60°,AE=6
∴ ∠EAC=30°(菱形的對角線平分每組對角) ，∠AOE=90°
∴ OE=(直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AO==----2分
∴EF=2OE=6，AC=2AO=
菱形AECF==----2分
（1）在平行四邊形，可得一組內錯角，一組對頂角分別相等，又有一邊相等，則證明△AOE≌△COF即可．
（2）證明AECF是平行四邊形，然后于EF⊥AC得出AECF是菱形；
（3）先求出AE、AO的長，從而得出EF、AC的長，最后求出菱形AECF的面積。