Question

【題目】如圖，在矩形中，平分交于點，給出以下結論：①為等腰直角三角形；②為等邊三角形；③；④⑤是的中位線．其中正確的結論有（ ）

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】B

【解析】

由矩形的性質可得AO＝CO＝DO＝BO，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°，AD∥BC，AB∥CD，由角平分線的性質和平行線的性質可判斷①，由銳角三角函數可求∠ACD＝30°，即可判斷②，由三角形內角和定理可求∠DOE的度數，即可判斷③④，由直角三角形的性質可求CE的長，即可判斷⑤．

∵四邊形ABCD是矩形

∴AO＝CO＝DO＝BO，∠DAB＝∠ABC＝∠DCB＝∠CDA＝90°，AD∥BC，AB∥CD

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE＝∠EAB＝45°

∵AB∥CD

∴∠DEA＝∠EAB＝45°

∴∠DEA＝∠DAE＝45°

∴AD＝DE，且∠ADE＝90°

∴△ADE是等腰直角三角形

故①正確

∵AD＝AC，∠ADC＝90°

∴∠ACD＝30°

∴∠OCB＝60°，且OB＝OC

∴△OBC是等邊三角形

故②正確

∵△OBC是等邊三角形

∴OB＝OC＝BC

∴OD＝OA＝AD＝OC＝OB

∴∠ODA＝∠OAD＝∠DOA＝60°，∠OCD＝∠ODC＝30°，且OD＝DE

∴∠DOE＝=75°

故③錯誤

∵∠EAC＝∠OAD∠DAE＝15°，∠EOC＝∠DOC∠DOE＝180°∠DOA75°＝120°75°＝45°

∴∠EOC＝3∠EAC

故④正確

∵∠ACD＝30°，

∴AD=AC，AC=2AD

∴CD==AD，且DE＝DO＝AD

∴CE＝ADAD≠DE

∴OE不是△ACD的中位線,

故⑤錯誤

故選：B．