Question

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格（每個小方格的邊長均為1個單位長），其對稱中心為點O．
如圖1，有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O，它以每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大（即點O不動，正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8；再經過一秒，由8×8擴大為10×10；…），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小．
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始，以每秒1個單位長的速度，沿正方形ABCD的內側邊緣按A→B→C→D→A移動（即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始，先向左平移，當點Q與點B重合時，再向上平移，…）．
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動，設運動時間為x秒，它們的重疊部分面積為y個平方單位．
（1）當正方形MNPQ第一次回到起始位置時，正方形EFGH是否也變化到起始位置？
（2）請你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分（重疊部分用陰影表示），并分別寫出重疊部分的面積；
（3）正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前（即x≤7時），何時正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位．

Answer 1

分析：（1）根據題意得：正方形EFGH每次變化到起始位置所需時間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時間為56秒，又由56÷14=4，即可得此時正方形EFGH也變化到起始位置；
（2）根據題意即可作出圖形，由圖形即可得當x=3時，y=10； 當x=18時，y=18；
（3）分別從①當x＜1時，②當1≤x≤3.5時，③當3.5≤x≤7時去分析，根據題意列方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）正方形EFGH每次變化到起始位置所需時間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時間為56秒，
∵56÷14=4，
∴此時正方形EFGH也變化到起始位置．…（2分）

（2）相應的圖形如圖1、圖2．…（6分）
當x=3時，y=10；    
當x=18時，y=18．  …（7分）

（3）①當x＜1時，兩正方形無重疊；
②當1≤x≤3.5時，如圖3：
延長MN交AD于K，設MN與HG交于S，MQ與FG交于T，
則MK=6+x，SK=TQ=7-x，
從而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1． …（10分）
令y=3，則2x²-3x+1=3
解之得：x₁=-

1

2

（舍去），x₂=2，…（12分）
③當3.5≤x≤7時，y=MN•MT=6（x-1）=6x-6
令y=3，則6x-6=3，解得：x=

3

2

（不合題意，舍去）
∴當x=2時，重疊部分的面積為3平方單位．…（14分）

點評：此題考查了二次函數的綜合應用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是理解題意，找到規律：正方形EFGH每次變化到起始位置所需時間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時間為56秒，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．