Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC 的一邊 AB 在 x 軸上，∠ABC=90°，點 C（4，8） 在第一象限內，AC 與 y 軸交于點 E，拋物線 y=+bx+c 經過 A、B 兩點，與 y 軸交于點 D（0，﹣6）．

（1）請直接寫出拋物線的表達式；

（2）求 ED 的長；

（3）若點 M 是 x 軸上一點（不與點 A 重合），拋物線上是否存在點 N，使∠CAN=∠MAN．若存在，請直接寫出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6；（2）；（3） S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）滿足條件的N點坐標為（，）；（，﹣）．

【解析】（1）先確定B（4，0），再利用待定系數法求出拋物線解析式為y=x2-x-6；

（2）先利用待定系數法求得直線AC的解析式為y=x+，則可確定E（0，），然后計算DE的長；

（3）如圖2，當點M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據角平分線的性質得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y=x+1，于是通過解方程組，得N點坐標為（，）；當點M′在x的負半軸上時，AN′交y軸與G，先在證明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下來利用待定系數法求出直線AG的解析式為y=-2x-4，然后解方程組得N′的坐標．

（1）∵BC⊥x軸，點C（4，8），

∴B（4，0），

把B（4，0），C（0，﹣6）代入y=+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=x﹣6；

（2）設直線AC的解析式為y=px+q，

把A（﹣2，0），C（4，8）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=x+，

當x=0時，y=x+=，則E（0，），

∴DE=+6=；

（3）如圖2，當點M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，

則FH=FB，

易得AH=AB=6，

∵AC=，

∴CH=10﹣6=4，

∵cos∠ACB=，

∴CF=，

∴F（4，3），

易得直線AF的解析式為y=x+1，

解方程組得或，

∴N點坐標為（，）；

當點M′在x的負半軸上時，AN′交y軸與G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴，即，解得OG=4，

∴G（0，﹣4），

易得直線AG的解析式為y=﹣2x﹣4，

解方程組得或，

∴N′的坐標為（，﹣），

綜上所述，滿足條件的N點坐標為（，）；（，﹣）．