Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點的坐標；
（2）動點P從點C出發，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時[來源:中教網]，動點M從點A出發，沿線段AB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點P作，垂足為H，連接，．設點P的運動時間為秒．
①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求的值；
②點Q是點B關于點A的對稱點，問是否有最小值，如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1），．························································· 1分
當時，，．
所以直線AB與CD交點的坐標為．···················································· 2分
（2）

當0＜＜時，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．
過點M作，垂足為N．
由△AMN∽△ABO，得．
∴．∴．········································································ 4分
∴△MPH的面積為．
當時，．············································································· 5分
當＜≤3時，設MH與CD相交于點E，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即
△PEH的面積．
過點M作于G，交HP的延長線于點F．


．
．
由△HPE∽△HFM，得．
∴．∴．································································ 8分
∴△PEH的面積為．
當時，．
綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，為1或．·················· 9分
（3）有最小值．
連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．
∴．     ∴．
當點C，H，Q在同一直線上時，的值最小．···································· 11分
∵點C，Q的坐標分別為，，    ∴直線CQ的解析式為，
∴點H的坐標為．    因此點P的坐標為．······························ 12分

解析