Question

如圖1，把兩個全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經過三角板ABC的直角頂點C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF均為4．現將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點沿逆時針方向旋轉α（0＜α＜90°），如圖2，EG交AC于點K，GF交BC于點H．在旋轉過程中，請你解決以下問題：

（1）GH：GK的值是否變化？證明你的結論；
（2）連接HK，求證：KH∥EF；
（3）設AK=x，請問是否存在x，使△CKH的面積最大？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）GH：GK的值沒發生變化，根據已知條件證明△AGK∽△CGH，由相似三角形的性質可得：，又因為在Rt△ACG中，tan∠A=，所以GH：GK的比值是一個的值；
（2）連接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH=，所以∠GKH=60°，再根據三角形的內角和證明，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，即可證得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等兩線平行即可證明KH∥EF；
（3）設AK=x，存在x=1，使△CKH的面積最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH=AK=x，根據三角形的面積公式表示出S_△CHK=CK•CH=（2-x）•x，再把二次函數的解析式化為頂點式即可求出x的值．
解答：（1）解：GH：GK的值不變，GH：GK=．證明如下：
∵CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BGC=90°．
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠GCH=60°．
∵∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠AGK=∠CGH．
∴△AGK∽△CGH．
∴．                                    
∵在Rt△ACG中，tan∠A=，
∴GH：GK=．                                                    

（2）證明：連接HK，如圖2，
由（1）得，在Rt△KHG中，tan∠GKH=，
∴∠GKH=60°．
∵在△EFG中，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，
∴∠GKH=∠E．
∴KH∥EF；                                              
（3）解：存在x=1，使△CKH的面積最大．理由如下：
由（1）得△AGK∽△CGH，
∴，
∴CH=AK=x，
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠F=30°，
∴AC=EF=2，
∴CK=AC-AK=2-x．                                               
∴S_△CHK=CK•CH=（2-x）•x，
=-（x-1）²+，
∴當x=1時，△CKH的最大面積為．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及圖形旋轉的性質、平行線的判定和性質、三角形的面積公式、二次函數的最值問題，題目的綜合性很強，難度中等．