Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CP互相垂直，垂足為D，點Q在PB的延長線上，且∠Q=∠ACP．若⊙O的半徑為2．5，AC=3．
（1）求證：AB∥CQ；
（2）求證：△ACB∽△PCQ；
（3）求線段CQ的長度．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理可證∠ACP=∠ABP，結合已知∠Q=∠ACP，得同位角相等，兩直線平行；
（2）在△ACB和△PCQ中，找兩組對應角相等，可證△ACB∽△PCQ；
（3）計算Rt△ABC的三邊，用“面積法”求AB邊上的高CD，由垂徑定理得CP=2CD，再由△ACB∽△PCQ，利用相似比可求CQ．

解答：解：（1）∵∠Q=∠ACP，
∠ACP=∠ABP（同弧所對的圓周角相等），
∴∠Q=∠ABP．
∴AB∥CQ．

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB∥CQ，AB⊥CP，
∴∠PCQ=90°=∠ACB．
又∵∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ．

（3）在Rt△ACB中，AB=5，AC=3，
∴BC=4．
∵直徑AB⊥PC，
∴CD=PD=

3×4

5

=2.4，
∴CP=4.8．
∵△ACB∽△PCQ，
∴

CA

CP

=

CB

CQ

，即

3

4.8

=

4

CQ

，解得CQ=6.4．
答：線段CQ的長度為6.4．

點評：本題運用了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判斷和性質，具有較強的綜合性．