Question

【題目】如圖，點A在x軸的正半軸上，以OA為直徑作⊙P，C是⊙P上一點，過點C的直線y＝x＋與x軸，y軸分別相交于點D，點E，連接AC并延長與y軸相交于點B，點B的坐標為(0， )．

(1)求證：OE＝CE；

(2)請判斷直線CD與⊙P位置關系，證明你的結論，并求出⊙P半徑的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）直線CD是⊙P的切線，證明見解析；⊙P半徑的值為6.

【解析】試題分析：（1）連接OC，利用已知條件計算出CE和OB的長度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明OE=CE；（2）①直線CD是⊙P的切線，證明PC⊥CD．②設⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關于r的方程，求出r即可．

試題解析(1)如圖所示，連接OC，

∵直線y＝x＋與y軸相交于點E，

∴點E的坐標為(0， )，即OE＝.

又∵點B的坐標為(0， )，

∴OB＝，

∴BE＝OE＝，

又∵OA是⊙P的直徑，

∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，

∴OE＝CE.

(2)直線CD是⊙P的切線．

證明：連接PC，PE，由(1)可知OE＝CE.

在△POE和△PCE中，

∴△POE≌△PCE，

∴∠POE＝∠PCE.

又∵x軸⊥y軸，

∴∠POE＝∠PCE＝90°，

∴PC⊥CE，即PC⊥CD.

又∵直線CD經過半徑PC的外端點C，

∴直線CD是⊙P的切線．

∵對y＝x＋，當y＝0時，x＝－6，即OD＝6，

在Rt△DOE中，DE＝＝＝，

∴CD＝DE＋EC＝DE＋OE＝＋＝.

設⊙P的半徑為r，

則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2＋CD2＝PD2，

即r2＋(6)2＝(6＋r)2，

解得r＝6，即⊙P半徑的值為6.