Question

如圖1，直線AB分別交坐標軸交于A（-1，0）、B（0，1）兩點，與反比例函數（x＞0）的圖象交于點C（2，n）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如圖2，在y軸上取點D（0，3），點E為直線x=1上的一動點，則x軸上是否存在一點F，使D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，將直線y=-x向上平移，與坐標軸分別交于點P、Q，與（x＞0）相交于點M、N，若MN=5PM，求直線PQ的解析式．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把（-1，0）、B（0，1）代入得，解得，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
把點C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C點坐標為（2，3），
把點C（2，3）代入y=得k=2×3=6，
∴反比例函數解析式為y=；

（2）存在．
作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），連結CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，如圖2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴點D與點C關于直線x=1對稱，
∴ED=EC，
∵B點關于x軸的對稱點B′，
∴FB=FB′，
∴此時D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+=2+2；
設直線CB′的解析式為y=mx+n，
把C（2，3）、B′（0，-1）代入，解得，
∴直線CB′的解析式為y=2x-1，
當x=1時，則y=2-1=1；當y=0時，2x-1=0，解得x=，
∴點E坐標為（1，1），點F坐標為（，0）；

（3）過點M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，如圖3，
∵OP∥MH∥NG，
∴OH：HG=MP：MN，
而MN=5PM，
∴HG=5OH，
設M點坐標為（t，），則N（6t，），
設直線PQ的解析式為y=-x+p，
∵M（t，），N（6t，）在直線PQ上，
∴，解得或（舍去），
∴直線PQ的解析式為y=-x+7．
分析：（1）先利用待定系數法確定直線AB的解析式為y=x+1，再把點C（2，n）代入y=x+1求出n，則C點坐標為（2，3），然后利用待定系數法確定反比例函數解析式；
（2）作B點關于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），連結CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，根據D點與C點坐標得到點D與點C關于直線x=1對稱，則ED=EC，由B點關于x軸的對稱點B′得到FB=FB′，根據兩點之間線段最短得到此時四邊形BFED的周長為D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長的最小值，然后根據兩點之間的距離公式計算出CB′=2，從而得到最小周長=2+2；再待定系數法求出直線CB′的解析式為y=2x-1，則把x=1或y=0分別代入y=2x-1可得到E點和F點坐標；
（3）過點M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，根據平行線分線段成比例定理得到OH：HG=MP：MN，而MN=5PM，所以HG=5OH，設M點坐標為（t，），則N（6t，），設直線PQ的解析式為y=-x+p，然后M點、N點坐標代入得到關于t與p的方程組，再解方程組即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征待定系數法求函數解析式和平行線分線段成比例定理；運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．