Question

已知一次函數y=x+m（O＜m≤1）的圖象為直線l，直線l繞原點O旋轉180°后得直線l′，△ABC三個頂點的坐標分別為A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2）．
（1）求直線l′的解析式（可以含m）；
（2）如圖，l、l′分別與△ABC的兩邊交于E、F、G、H，四邊形EFGH的面積記為S，試求m與S的關系式，并求S的變化范圍；
（3）若m=1，當△ABC分別沿直線y=x與y=x平移時，判斷△ABC介于直線l，l′之間部分的面積是否改變？若不變請指出來；若改變請直接寫出面積變化的范圍．（本小題不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）先在直線l上取兩點，再分別得出這兩點繞原點O旋轉180°后的對應點，然后運用待定系數法即可求出l′的解析式；
（2）先運用等邊三角形的性質求出EF、GH的長度，再根據梯形的面積公式求解；
（3）根據平移的知識可知：沿y=x平移時，面積不變；沿y=x平移時，面積改變，設其面積為S'．顯然，如果△ABC與l、l′沒有交點，則面積S′取最小值0；由于m=1時，△ABC介于直線l，l′之間的部分是一個梯形，l與l′之間的距離是1，即梯形的高是1，則當EF+GH取最大值時，S′有最大值，此時直線l與l′中有一條過點C，且F、G落在△ABC的同一邊上，可求S′=，則0≤S'≤．
解答：解：（1）∵一次函數y=x+m（O＜m≤1）與x軸交于點M（-m，0），與y軸交于點N（0，m），
∴點M、N繞原點O旋轉180°后的對應點M′（m，0），與y軸交于點N（0，-m），
由題意，知M′、N′在直線l′上，
運用待定系數法易得直線l′的解析式為y=-m；

（2）∵A（-，-1）、C（O，2），∴直線AC的解析式為y=x+2，
又∵直線l的解析式為y=x+m，直線l′的解析式為y=-m，
∴l∥l′∥AC．
∵A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2），
∴AB=BC=CA=2，
∴△ABC是等邊三角形．
∵當y=-1時，x+m=-1，x=，∴E（，-1），BE=-=，
當y=-1時，x-m=-1，x=，∴H（，-1），BH=-=，
∵l∥AC，△ABC是等邊三角形，∴△BEF是等邊三角形，EF=BE=，
同理，HG=BH=．
過點O作OD⊥MN于D，則2OD是梯形EFGH的高．
∵點M（-m，0），點N（0，m），∴MN=．
在△OMN中，由面積公式，得OD==m，∴2OD=m，
∴梯形EFGH的面積S=（EF+GH）•2OD=m（+）=，
∵＞0，
∴S隨m的增大而增大，
又∵0＜m≤1，
∴0＜S≤；

（3）如果△ABC沿直線y=x平移，由平移的知識可知面積不變；
如果△ABC沿直線y=x平移，面積改變，設其面積為S'，
易知S′最小值為0，S′取最大值時，直線l與l′中有一條過點C，且F、G落在△ABC的同一邊上，
如圖所示，此時求得S'=．
則0≤S'≤．
點評：此題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的利用平移的性質和特點再結合具體圖形的性質求解．