Question

【題目】如圖，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB為邊作矩形ABCD，使AD=a，過點D作DE垂直OA的延長線交于點E．
（1）證明：△OAB∽△EDA；
（2）當a為何值時，△OAB與△EDA全等？請說明理由，并求出此時點C到OE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，

∵OA⊥OB，

∴∠1+∠2=90°，

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵OA⊥OB，OE⊥OA，

∴∠BOA=∠DEA=90°，

∴△OAB∽△EDA．

（2）解：在Rt△OAB中，AB= =5，

由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，

∴當a=AD=AB=5時，△AOB與△EDA全等．

當a=AD=AB=5時，可知矩形ABCD為正方形，

∴BC=AB，如圖，過點C作CH⊥OE交OE于點H，

則CH就是點C到OE的距離，過點B作BF⊥CH交CH于點F，

則∠4與∠5互余，∠1與∠5互余，

∴∠1=∠4，

又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，

∴△OAB≌△FCB（AAS），

∴CF=OA=4，BO=BF．

∴四邊形OHFB為正方形，

∴HF=OB=3，

∴點C到OE的距離CH=CF+HF=4+3=7．

【解析】（1）由于四邊形ABCD是矩形，則∠BAD=90°，那么∠OBA、∠DAE同為∠BAO的余角，即∠OBA=∠DAE，而∠BOA、∠DEA都是直角，由此可證得△OAB∽△EDA．（2）若△OAB與△EDA全等，則AB=AD，在Rt△OAB中，利用勾股定理易求得AB=5，那么a=AD=AB=5； 求C到OE的距離，可過C作CH⊥OE于H，過B作BF⊥CH于F；那么CH就是所求的距離，通過上面的解題思路，易證得△CBF≌△ABO，得CH=OA=4，BO=BF，那么四邊形BOHF是正方形，由此可得FH=BO=3，根據CH=CF+FH即可求得C到OE的距離．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質和相似三角形的判定，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）即可以解答此題．