Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交BC于點D，過點C作CF∥AB，與⊙O的切線BE交于點E，連接DE．

（1）求證：BD＝CD；

（2）求證：△CAB∽△CDE；

（3）設△ABC的面積為S1，△CDE的面積為S2，直徑AB的長為x，若∠ABC＝30°，S1、S2 滿足S1+S2＝，試求x的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）x＝8．．

【解析】

（1）因為AB＝AC，欲證明BD＝DC，只要證明AD⊥BC即可．

（2）可以根據兩角對應相等的兩個三角形相似進行證明．

（3）分別用x表示S1、S2，列出方程即可解決問題．

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）∵AB∥CE，

∴∠2＝∠1，

∵AB＝AC，

∴∠1＝∠3，

∵BE是⊙O切線，

∴∠ABE＝90°，

∵AB∥CE，

∴∠BEC+∠ABE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BD＝DC，

∴DE＝DB＝DC，

∴∠2＝∠4，

∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，

∴△CAB∽△CDE．

（3）∵S1＝．

∵△CAB∽△CDE，

∴,

∴S2＝，

由題意：,

∴x＝±8，

∵x＞0，

∴x＝8．