Question

如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為l的正方形OABC，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB₁C₁，再以對角線OB_l為邊作第三個正方形OB_lB₂C₂，照此規律作下去，則點B₂₀₁₂的坐標為       

Answer 1

（－2¹⁰⁰⁶，－2¹⁰⁰⁶）。

分OB_i的長度和點B_i的位置分別尋找規律：
由正方形邊長為1，根據勾股定理可得
OB=，OB₁=2=，OB₂=2=，
OB₃=·=，……OB₂₀₁₂=。
如圖，點B_i的位置為i=8一個周期。

∵2012÷8=251……4，
∴點B₂₀₁₂的坐標與點B₄的坐標位置相同，都在第三象限。
由正方形的性質可知△OB₂₀₁₁B2₀₁₂是等腰直角三角形。
∴B₂₀₁₁B2₀₁₂="O" B₂₀₁₁=。
∴點B₂₀₁₂的坐標為（－2¹⁰⁰⁶，－2¹⁰⁰⁶）。