Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD與點E，連CD分別交AE、AB于點F、G，過點A作AH⊥CD交BD于點H，則下列結論：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③△ADF≌△BAH；④ DF＝2EH，其中正確結論的個數為（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD＝150°，據此可判斷；②求出∠AFP和∠FAG度數，從而得出∠AGF度數，據此可判斷；③根據ASA證明△ADF≌△BAH即可判斷③④正確；⑤由∠BAE＝45°，∠ADC＝∠BAH＝15°，則∠EAH＝30°，DF＝2EH即可得出．

∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，

∴∠BAC＝60°、∠BAD＝90°、AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，

∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD＝150°，

∴∠ADC＝15°，故①正確；

∵AE⊥BD，即∠AED＝90°，

∴∠DAE＝45°，

∴∠AFG＝∠ADC＋∠DAE＝60°，∠FAG＝45°，

∴∠AGF＝75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②錯誤；

記AH與CD的交點為P，

由AH⊥CD且∠AFG＝60°知∠FAP＝30°，

則∠BAH＝∠ADC＝15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF＝AH，故③④正確；

∵∠ABE＝∠EAB＝45°，∠ADF＝∠BAH＝15°，

∴∠EAH＝∠EAB∠BAH＝45°15°＝30°，

∴AH＝2EH，

∴DF＝2EH．

故⑤正確．

故選：B．