Question

在一節數學實踐活動課上，呂老師手拿著三個正方形硬紙板和幾個不同的圓形的盤子，他向同學們提出了這樣一個問題：已知手中圓盤的直徑為13cm，手中的三個正方形硬紙板的邊長均為5cm，若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，能否用這個圓盤將其蓋住？問題提出后，同學們七嘴八舌，經過討論，大家得出了一致性的結論是：本題實際上是求在不同情況下將三個正方形硬紙板無重疊地適當放置，圓盤能蓋住時的最小直徑．然后將各種情形下的直徑值與13cm進行比較，若小于或等于13cm就能蓋住，反之，則不能蓋住．呂老師把同學們探索性畫出的四類圖形畫在黑板上，如下圖所示．

（1）通過計算，在①中圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應為

 

cm．（填準確數）
（2）圖②能蓋住三個正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為

 

cm圖③能蓋住三個正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為

 

cm？（結果填準確數）
（3）按④中的放置，考慮到圖形的軸對稱性，當圓心O落在GH邊上時，此時圓盤的直徑最小．請你寫出該種情況下求圓盤最小直徑的過程．（計算中可能用到的數據，為了計算方便，本問在計算過程中，根據實際情況最后的結果可對個別數據取整數）
（4）由（1）（2）（3）的計算可知：A．該圓盤能蓋住三個正方形硬紙板，B．該圓盤不能蓋住三個正方形硬紙板．你的結論是

 

．（填序號）

Answer 1

分析：（1）圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應為三個正方形的邊長和為：

52+152

=5

10

cm；
（2）圖②圖③的半徑都是正方形的對角線長，即5

2

，直徑即可求得；
（3）設圓心到“品”字形最上面橫線的距離為x，到最下面橫線的距離為y，則x+y=10，而且根據勾股定理求解；
（4）由上述結論可得A．該圓盤能蓋住三個正方形硬紙板．

解答：解：（1）通過計算，在①中圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應為5

10

cm；

（2）圖②能蓋住三個正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為10

2

cm，
圖③能蓋住三個正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為10

2

cm；

（3）如圖設圓心到最上面橫線的距離為x，到最下面橫線的距離為y，則x+y=10，
∵OB=OA，∴AK=BK，
根據勾股定理可得，
x²+（

5

2

）²=y²+5²，
解得x=

19×5

16

，y=

13×5

16

，
則OB=

( 13×5 16 )2+52

≈6.44，
∴圓盤的最小直徑為12.88cm．

（4）由上述結論可得A．該圓盤能蓋住三個正方形硬紙板．

點評：此題有點難度，綜合考查正方形的性質、勾股定理、圓的有關計算等知識點．