Question

【題目】已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問題：
（1）如圖①，求證：OB∥AC．
（2）如圖②，若點E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數等于；（在橫線上填上答案即可）．
（3）在（2）的條件下，若平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值．
（4）在（3）的條件下，如果平行移動AC的過程中，若使∠OEB=∠OCA，求∠OCA度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∴∠O=180°﹣∠B=80°，

而∠A=100°，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC

（2）解：∵OE平分∠BOF， ∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF= ∠AOB= ×80°=40°，
故答案為40°
（3）解：不改變．

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，

∵∠FOC=∠AOC，

∴∠AOF=2∠AOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB的值為1：2

（4）解：設∠AOC的度數為x，則∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，

∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，

而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣100°=80°﹣x，

∵∠OEB=∠OCA，

∴40°+x=80°﹣x，解得x=20°，

∴∠OCA=80°﹣x=80°﹣20°=60°

【解析】（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°﹣∠B=80°，則∠A+∠O=180°，根據平行線的判定即可得到OB∥AC；（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF= ∠AOB=40°；（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，則∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；（4）設∠AOC的度數為x，則∠OFB=2x，根據平行線的性質得∠OEB=∠AOE，則∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根據三角形內角和定理得∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=80°﹣x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°﹣x，解得x=20°，所以∠OCA=80°﹣x=60°．
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定與性質和平移的性質的相關知識點，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等才能正確解答此題．