Question

我們把既有外接圓又有內切圓的四邊形稱為雙圓四邊形，如圖1，四邊形ABCD是雙圓四邊形，其外心為O₁，內心為O₂．
（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，雙圓四邊形有

 

個；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，已知：∠B=∠D=90°，AB=AD，問：這個四邊形是否是雙圓四邊形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（3）如圖3，如果雙圓四邊形ABCD的外心與內心重合于點O，試判定這個四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）有給出的圖形可知只有正方形是雙圓四邊形；
（2）可先設AC的中點為O₁，證明A、B、C、D在以O₁為圓心，以O₁A為半徑的圓上；再作∠ABC的平分線，交AC于O₂，分別作O₂E⊥AB，O₂F⊥BC，O₂G⊥CD，O₂H⊥AD，E、F、G、H是垂足，再證明O₂E=O₂F=O₂G=O₂H即可；
（3）利用垂徑定理，圓心角定理可證明這個四邊形是正方形．

解答：解：（1）1；

（2）四邊形ABCD是雙圓四邊形．
證明：設AC的中點為O₁，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴O₁B=O₁D=

1

2

AC=O₁A=O₁C，
∴A、B、C、D在以O₁為圓心，以O₁A為半徑的圓上．
作∠ABC的平分線，交AC于O₂，分別作O₂E⊥AB，O₂F⊥BC，O₂G⊥CD，O₂H⊥AD，E、F、G、H是垂足，O₂E=O₂F．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB=AD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴O₂E=O₂H，O₂G=O₂F，
即O₂E=O₂F=O₂G=O₂H，
∴以O₂為圓心，以O₂E為半徑的圓與四邊形ABCD的各邊都相切．
故四邊形ABCD是雙圓四邊形．

（3）四邊形ABCD是正方形．理由如下：
∵小圓是四邊形ABCD的內切圓，
∴圓心O到AB、BC、CD、DA的距離相等．
又∵AB、BC、CD、DA是大圓的弦，
∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DA，
∴四邊形ABCD是正方形．

點評：本題考查了四邊形的內切圓和外接圓，當四邊形是正四邊形時，這兩個圓是同心圓．本題用到的和圓有關的定理還有垂徑定理、圓心角定理．