Question

如圖，⊙O的直徑為10，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．
（1）求證：AC•CD=PC•BC；
（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A與∠P是

BC

對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴

AC

PC

=

BC

CD

，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）當點P運動到

AB

的中點時，過點B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵點P是

AB

的中點，
∴∠PCB=

1

2

∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×

2

2

=4

2

，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A=

BE

PE

=

BC

AC

=

4

3

，
∴PE=

3

4

BE=3

2

，
∴PC=PE+CE=7

2

，
∴CD=PC•tan∠P=

4

3

×7

2

=

28 2

3

．