Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E，連接CD．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若AB=4 ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．又∵∠A=∠B=30°，

∴∠A=∠ODB，

∴DO∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE 為⊙O 的切線

（2）解：∵BC 為直徑，

∴∠BDC=90°．

根據等腰三角形的三線合一性質得到CD是AB的中線，

∴BD= AB=2 ，

在直角三角形BDC中，cosB═ ，即 = ，

解得BC=4，

S陰影=S扇形OCD﹣S△OCD= ﹣ × = ﹣

【解析】（1）首先連接OD，根據等邊對等角得出∠B=∠ODB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得∠A=∠ODB，即可證得OD∥AC，繼而可證得結論；（2）由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD= AB=2 ，通過解余弦函數求得BC，從而得出圓的半徑，進而根據S陰影=S扇形OCD﹣S△OCD即可求得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)，還要掌握扇形面積計算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關知識才是答題的關鍵．