Question

對于點O、M，點M沿MO的方向運動到O左轉彎繼續運動到N，使OM=ON，且OM⊥ON，這一過程稱為M點關于O點完成一次“左轉彎運動”．正方形ABCD和點P，P點關于A左轉彎運動到P₁，P₁關于B左轉彎運動到P₂，P₂關于C左轉彎運動到P₃，P₃關于D左轉彎運動到P₄，P₄關于A左轉彎運動到P₅，…．
（1）請你在圖中用直尺和圓規在圖中確定點P₁的位置；
（2）連接P₁A、P₁B，判斷△ABP₁與△ADP之間有怎樣的關系？并說明理由．
（3）以D為原點、直線AD為y軸建立直角坐標系，并且已知點B在第二象限，A、P兩點的坐標為（0，4）、（1，1），請你推斷：P₄、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點的坐標．

Answer 1

解：（1）用直尺和圓規作圖，作圖痕跡清晰；

（2）△ABP₁≌△ADP，且△ABP₁可看成是由△ADP繞點A順時針旋轉90°而得．
理由如下：在△ABP₁和△ADP中，
由題意：AB=AD，AP=AP₁，∠PAD=∠P₁AB，
∴△ABP₁≌△ADP，
又∵△ABP₁和△ADP有公共頂點A，且∠PAP₁=90°，
∴△ABP₁可看成是由△ADP繞點A順時針旋轉90°而得；

（3）點P（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到P₁（-3，3），
點P₁（-3，3）關于點B（-4，4）左轉彎運動到點P₂（-5，3），
點P₂（-5，3）關于點C（-4，0）左轉彎運動到點P₃（-1，1），
點P₃（-1，1）關于點D（0，0）左轉彎運動到點P₄（1，1），
點P₄（1，1）關于點A（0，4）左轉彎運動到點P₅（-3，3），
點P₅與點P₁重合，點P₆與點P₂重合，點P₂₀₀₉的坐標為（-3，3）
點P₂₀₁₀的坐標為（-5，3）．
分析：（1）根據旋轉的性質與“左轉彎運動”的定義，即可知首先作∠BAP₁=∠DAP，然后截取AP₁=AP即可求得P₁；
（2）由旋轉的性質，即可得AB=AD，AP=AP₁，∠PAD=∠P₁AB，則可證得△ABP₁≌△ADP，又由△ABP₁和△ADP有公共頂點A，且∠PAP₁=90°，即可得△ABP₁可看成是由△ADP繞點A順時針旋轉90°而得；
（3）由題意，即可求得P₁，P₂，P₃，P₄的坐標，即可得規律：各點的坐標每四次一循環，即可求得P₄、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點的坐標．
點評：此題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定．此題考查了學生的動手能力，此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與找到規律：各點的坐標每四次一循環．