Question

【題目】如圖，已知點、在雙曲線上，軸于，軸于點，與交于點，是的中點．

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

（2）若的面積為，求該雙曲線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AD、CD、BC；AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，則AC⊥BD；設A（m，n），則mn=k，P（m，n），再確定B點坐標，進而說明PD=PB，AP=PC， 即可判定四邊形ABCD為菱形；

（2）由△ABP的面積為3，知BPAP=6.由反比例函數中k的幾何意義，知本題k=OCAC，再由反比例函數的性質以及P是AC的中點的條件，得出OC=BP，AC=2AP，從而完成解答．

解:(1) 四邊形ABCD為菱形,理由如下:

如圖:連接AD、CD、BC；AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，

∴AC⊥BD；

設A（m，n），則mn=k，P（m，n），

B點縱坐標為n，橫坐標為 ，

∴PD=PB，

又∵AP=PC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵△ABP的面積為·BP·AP=3，

∴BP·AP=6，

∵P是AC的中點，

∴A點的縱坐標是B點縱坐標的2倍，

又∵點A、B都在雙曲線上，

∴B點的橫坐標是A點橫坐標的2倍，

∴OC=DP=BP，

∴|k| =OC·AC=BP·2AP=12.

又∵該函數圖像在第二象限

∴k=-12

∴該雙曲線的解析式是：.