Question

（2012•昆山市二模）如圖，直線l的解析式為y=

3

3

x，⊙O是以坐標原點為圓心，半徑為1的圓，點P在x軸上運動，過點P且與直線l平行（或重合）的直線與⊙O有公共點，則點P的橫坐標為整數的點的個數有

5

個．

Answer 1

分析：由直線l的解析式的特點，得出∠1的度數為30°，然后抓住兩個特殊情況考慮：當過點P與直線l平行，且與圓O相切時，切點在第二象限時，如圖所示，設切點為E，連接OE，利用切線的性質得到OE與EP垂直，由兩直線平行同位角相等得到∠EPO的度數為30°，在直角三角形POE中，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OP的長，得到此時P的坐標；當過點P與直線l平行，且與圓O相切時，切點在第四象限時，如圖所示，設切點為F，同理求出此時P的坐標，進而根據題意得出過點P且與直線l平行（或重合）的直線與圓O有公共點時P橫坐標的范圍，在范圍中找出點P的橫坐標為整數的點的個數即可．

解答：解：∵直線l的解析式為y=

3

3

x，
∴∠1=30°，
當過點P且與直線l平行的直線與圓O相切，且切點在第二象限時，如圖所示，

此時直線PE與圓O相切，切點為點E，
∵直線l∥PE，∠1=30°，
∴∠EPO=30°，
在Rt△PEO中，OE=1，
可得OP=2OE=2，又P在x軸負半軸上，
∴此時P坐標為（-2，0）；
當過點P且與直線l平行的直線與圓O相切，且切點在第四象限時，如圖所示，
此時直線PF與圓O相切，切點為點F，
∵直線l∥PF，∠1=30°，
∴∠FPO=30°，
在Rt△PFO中，OF=1，
可得OP=2OF=2，又P在x軸正半軸上，
∴此時P的坐標為（2，0），
綜上，滿足題意的點P橫坐標p的范圍是-2≤p≤2，
則點P的橫坐標為整數的點的個數有-2，-1，0，1，2，共5個．
故答案為：5

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：直線傾斜角與直線解析式的關系，含30°直角三角形的性質，平行線的性質，切線的性質，利用了數形結合及分類討論的數學思想，根據題意得出直線l與x軸的夾角是解本題的突破點．