Question

如圖，已知拋物線y=

1

4

(x-1)(x-b)（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）點B的坐標為

（b，0）

，點C的坐標為

（0，

1

4

b）

（用含b的代數式表示）；
（2）若b=8，請你在拋物線上找點P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你探索，在（1）的結論下，在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點B的坐標，再令x=0求出y的值得到點C的坐標；
（2）先根據b的值確定出點A的坐標，然后寫出直線AC的解析式，再分∠CAP=90°和∠ACP=90°兩種情況寫出直線PC、PA的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標；
（3）根據O、A、B在同一直線上判定三個相似三角形都是直角三角形，所以點QA⊥x軸，然后分∠OCQ=90°和∠OQC=90°兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出AQ的值，即可得到點Q的坐標．

解答：解：（1）令y=0，則

1

4

（x-1）（x-b）=0，
解得x₁=1，x₂=b，
∵b＞2，
∴點B的坐標為（b，0），
令x=0，則y=

1

4

b，
∴點C的坐標為（0，

1

4

b）；

（2）b=8時，點A（1，0），C（0，2），
所以，直線AC的解析式為y=-2x+2，
△PAC是直角三角形，分兩種情況討論：
①當∠CAP=90°時，設直線PA的解析式為y=

1

2

x+b，
則

1

2

×1+b=0，
解得b=-

1

2

，
所以，y=

1

2

x-

1

2

，
聯立

y= 1 4 (x-1)(x-8) y= 1 2 x- 1 2

，
解得

x1=10 y1=4.5

，

x2=1 y2=0

（為點A坐標，舍去），
∴點P（10，4.5）；
②當∠ACP=90°時，設直線PC的解析式為y=

1

2

x+b，
則

1

2

×0+b=2，
解得b=2，
所以，y=

1

2

x+2，
聯立

y= 1 4 (x-1)(x-8) y= 1 2 x+2

，
解得

x1=11 y1=7.5

，

x2=0 y2=2

（為點C坐標，舍去），
∴點P（11，7.5）；
綜上所述，存在P（10，4.5）或（11，7.5）使得△PAC是直角三角形；

（3）∵點O、A、B都在x軸上，
∴要使△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，三個三角形都是直角三角形，
∴點QA⊥x軸，
①當∠OCQ=90°時，四邊形OAQC是矩形，
∴QA=OC=

1

4

b，
∵△QOA∽△BQA∽△OQC，
∴

QA

AB

=

OA

QA

，
∴QA²=AB•OA，
∴（

1

4

b）²=（b-1）•1，
整理得，b²-16b+16=0，
解得b=8+4

3

，b=8-4

3

（舍去），
∴QA=

1

4

b=

1

4

×（8+4

3

）=2+

3

，
∴點Q的坐標為（1，2+

3

），
②當∠OQC=90°時，
∵△QOA∽△BQA∽△OCQ，
∴

OC

OQ

=

OQ

QA

，△OQA∽△OBQ，
∴OQ²=QA•OC，

OQ

OB

=

OA

OQ

，
∴OQ²=OA•OB，
∴QA•OC=OA•OB，
∴QA•

1

4

b=1•b，
解得QA=4，
∴點Q的坐標為（1，4），
綜上所述，點Q的坐標為（1，2+

3

）或（1，4）．
故答案為：B（b，0），C（0，

1

4

b）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了求拋物線與坐標軸的交點坐標，聯立兩函數解析式求交點坐標，待定系數法求一次函數解析式，相似三角形對應邊成比例的性質，難點在于（2）（3）兩小題都要分情況討論．