Question

【題目】如圖，C為線段AE上一點（不與點A、E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下四個結論：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的結論有（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴①正確，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，
在△CDP和△CEQ中，

∴△CDP≌△CEQ，②正確；
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE③正確，
∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴④正確．
答案為：①②③④．
①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE；
②由△ACD≌△BCE，可得∠CEB=∠CDA，再由已知∠ACB=∠DCE=60°，得∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，進而證得CDP≌△CEQ，②正確；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知③正確；④利用等邊三角形的性質，BC∥DE，再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知④正確．