Question

隨著我市近幾年城市園林綠化建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y₁與投資成本x成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資成本x成二次函數關系，如圖②所示．（注：利潤與投資成本的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）如果這位專業戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木，請求出他所獲得的總利潤Z與投入種植花卉的投資量x之間的函數關系式，并回答他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設出一次函數解析式和頂點為原點的二次函數解析式，把P，Q分別代入兩個函數解析式可得相應的函數解析式；
（2）總利潤=種植花卉的利潤+種植樹木的利潤，用公式法可得二次函數的最值問題．
解答：解：（1）設y₁=kx，由圖①所示，函數y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關于投資量x的函數關系式是y₁=2x，
∵該拋物線的頂點是原點，
∴設y₂=ax²，
由圖②所示，函數y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，即a=，
故利潤y₂關于投資量x的函數關系式是：y₂=x²；

（2）設這位專業戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據題意，得z=2（8-x）+x²=x²-2x+16=（x-2）²+14，
當x=2時，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴當x=8時，z的最大值是32．
點評：考查二次函數的應用；求函數解析式通常用待定系數法；掌握函數的圖象的特點是解決本題的關鍵．