Question

【題目】如圖，△ABC中，AB= ，AC=5，tanA=2，D是BC中點，點P是AC上一個動點，將△BPD沿PD折疊，折疊后的三角形與△PBC的重合部分面積恰好等于△BPD面積的一半，則AP的長為 ．

Answer 1

【答案】2或5﹣
【解析】解：分兩種情況：①當點B′在AC的下方時，如圖1，

∵D是BC中點，

∴S△BPD=S△PDC，

∵S△PDF= S△BPD，

∴S△PDF= S△PDC，

∴F是PC的中點，

∴DF是△BPC的中位線，

∴DF∥BP，

∴∠BPD=∠PDF，

由折疊得：∠BPD=∠B′PD，

∴∠B′PD=∠PDF，

∴PB′=B′D，

即PB=BD，

過B作BE⊥AC于E，

Rt△ABE中，tan∠A= =2，

∵AB= ，

∴AE=1，BE=2，

∴EC=5﹣1=4，

由勾股定理得：BC= = =2 ，

∵D為BC的中點，

∴BD= ，

∴PB=BD= ，

在Rt△BPE中，PE=1，

∴AP=AE+PE=1=1=2；②當點B'在AC的上方時，如圖2，連接B′C，

同理得：F是DC的中點，F是PB′的中點，

∴DF=FC，PF=FB′，

∴四邊形DPCB′是平行四邊形，

∴PC=B′D=BD= ，

∴AP=5﹣ ，

綜上所述，AP的長為2或5﹣ ；

所以答案是：2或5﹣ ．

【考點精析】利用翻折變換（折疊問題）和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．