Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值，如果不能，說明理由；
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF= CD=2t，

∴DF=AE；

（2）

解：∵DF∥AB，DF=AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即當t=10時，AEFD是菱形；

（3）

解：當t= 時△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；

當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：

當∠EDF=90°時，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t= 時，∠EDF=90°．

當∠DEF=90°時，DE⊥EF，

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD= AE，

AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= CD=2t，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

綜上所述，當t= 時△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當t=12時，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

【解析】（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明；（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值；（3）分兩種情況討論即可求解．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和解直角三角形，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．