Question

33、如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：
①△ABE∽△ACD；②△AED≌△AEF；③BE＜EF-DC；④BE²+DC²=DE²．
其中正確的選項是：

②④

（填序號）．

Answer 1

分析：首先根據等腰直角三角形的性質，可求得頂角與底角的度數；根據旋轉的性質，可得對應角與對應邊相等；根據全等三角形的判定定理即可求得②正確；根據勾股定理與等量代換可得④正確；由三角形的三邊關系可得③錯誤；①無法判斷，所以錯誤．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，BE²+BF²=EF²，BE＞EF-BF，
∴BE²+DC²=DE²；
∴BE＞EF-DC．
∴正確的選項是：②④．

點評：此題考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性質以及旋轉的性質．此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析．