Question

在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E，F兩點，與y軸交于C、D兩點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于B
（1）求直線BC的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸的交點恰為⊙A與x軸的交點，求拋物線的解析式；
（3）問C點是否在所求的拋物線上？

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，在Rt△AOC中，由⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0）求得點C的坐標，又由△AOC∽△ACB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得B點的坐標，然后又待定系數即可求得直線BC的解析式；
（2）首先求得點與F的坐標，然后設兩點式y=a（x+2）（x-6），又由頂點在直線BC上，即可求得拋物線的解析式；
（3）由當x=0時，y=2

3

，可得C點在所求的拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

上．

解答：解：（1）連接AC，
∵BC是⊙A的切線，
∴∠BCA=90°，
∵⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），
∴C（0，2

3

），
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△ACB，
∴AC²=OA•AB，
∵4²=2×AB得AB=8，
∴B（-6，0），
∴直線BC的解析式為y=

3

3

x+2

3

（4分）；

（2）∵E（-2，0）、F（6，0），
設y=a（x+2）（x-6）=a（x-2）²-16a，
由于頂點在直線BC上，
故（2，-16a）代入y=

3

3

x+2

3

，
可得a=-

3

6

，
∴求得拋物線的解析式為y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

（5分）；

（3）當x=0時，y=2

3

，
∴C點在所求的拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

上．（3分）

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，切線的性質，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是要注意方程思想與數形結合思想的應用．