Question

【題目】閱讀理解：

把兩個相同的數連接在一起就得到一個新數，我們把它稱為“連接數”，例如：234234，3939…等，都是連接數，其中，234234稱為六位連接數，3939稱為四位連接數．

（1）請寫出一個六位連接數　 　，它　 　（填“能”或“不能”）被13整除．

（2）是否任意六位連接數，都能被13整除，請說明理由．

（3）若一個四位連接數記為M，它的各位數字之和的3倍記為N，M﹣N的結果能被13整除，這樣的四位連接數有幾個？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）能被13整除（3）這樣的四位連接數有1919，2525，3131，一共3個

【解析】分析：（1）根據六位連接數的定義可知123123為六位連接數，再將123123進行因數分解，判斷得出它能被13整除；

（2）設為六位連接數，將進行因數分解，判斷得出它能被13整除；

（3）設為四位連接數，用含x、y的代數式表示M與N，再計算M﹣N，然后將表示為77x+7y+，根據M﹣N的結果能被13整除以及M與N都是1～9之間的整數，求得x與y的值，即可求解．

詳解：（1）123123為六位連接數；

∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；

（2）任意六位連接數都能被13整除，理由如下：

設為六位連接數．∵=×1001=×13×77，∴能被13整除；

（3）設為四位連接數，則M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=3（x+y+x+y）=6x+6y，∴M﹣N=（1010x+101y）﹣（6x+6y）=1004x+95y，∴==77x+7y+．∵M﹣N的結果能被13整除，∴是整數．∵3xspan>+4y取值范圍大于3小于63，所以能被13整除的數有13，26，39，52，∴x=1，y=9；x=2，y=5；x=3，y=1；x=8，y=7；x=9，y=3；x=5，y=6；x=6，y=2；

滿足條件的四位連接數的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7個．