Question

【題目】如圖所示，水平地面上置有輕質薄壁圓柱形容器甲和圓柱體乙。甲的底面積為0.01 m2、高為0.3 m，盛有0.2 m深的水；乙的底面積為0.005 m2、高為0.8 m，質量為8 kg。g取10 N/kg。

（1）求水對甲底部的壓強p水；

（2）求乙的密度ρ乙；

（3）若在乙上方沿水平方向切去一部分，并將切去部分豎直放在甲容器內，此時水對容器底部的壓力等于乙剩余部分對地面的壓力，求甲容器對地面壓強的變化量Δp甲。

Answer 1

【答案】(1)2 000 Pa；(2)2×103 kg/m3；(3)4 500 Pa

【解析】

（1）利用液體的壓強公式p=ρgh可求水對甲底部的壓強；
（2）根據乙的底面積和高，可求得其體積，利用密度公式可求得其質量；
（3）根據水對容器甲底部的壓力等于圓柱體乙剩余部分對水平地面的壓力條件，列方程求得在乙上方沿水平方向切去的高度，然后可知其質量，再利用G=mg求得其重力，因為容器高為0.3米，所以在乙上方沿水平方向切去一部分，并將切去部分豎直放在甲容器內，水的深度最高到達0.3m，由p=ρgh可求得此時水對容器底部的壓強，然后可求壓力，因為水會溢出，所以甲容器對地面壓強的變化量應減去溢出水對地面壓強。

（1）水對甲底部的壓強p水=ρgh=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m=2000Pa；

（2）乙的體積：V乙=S乙h=0.005m2×0.8m=0.004m3，

乙的密度；

（3）由于ρ乙=2×103kg/m3＞ρ水，所以乙放入水中沉底，在乙上方沿水平方向切去一部分，并將切去部分豎直放在甲容器內靜止后，處于容器底部，

設切去部分為△h，若水不溢出，

水對容器底部的壓力，

乙剩余部分對地面的壓力，

當水對容器底部的壓力等于乙剩余部分對地面的壓力時，即F甲=F乙，

，，

，

解得△h=0.4m，由于容器高只有0.3m，所以水會溢出；

若水溢出，則水對容器底部的壓力，

乙剩余部分對地面的壓力，

當水對容器底部的壓力等于乙剩余部分對地面的壓力時，
即ρ水gh容S甲=ρ乙g（h乙-△h）S乙，

1×103kg/m3××10N/kg×0.3m×0.01m2=2×103kg/m3×10N/kg（0.8m-△h′）×0.005m2，

解得△h′=0.5m，

則乙切去部分的高度h切=h乙-△h′=0.8m-0.5m=0.3m，

乙剩余部分對地面的壓力：

，

所以切去部分重力G切=G總乙-G乙剩=m乙g-30N=8kg×10N/kg-30N=50N，

切去部分豎直放在甲容器內，由于容器高只有0.3m，

排開水的體積V排=S乙h排=0.005m2×(0.3m-0.2m) =0.0005m3，

排開水的重力G排=m排g=ρ水V排g=1×103kg/m3×0.0005m3×10N/kg=5N，

甲容器對地面壓強的變化量。

答：（1）水對甲底部的壓強p水為2000Pa；

（2）乙的密度ρ乙為2×103kg/m3；

（3）甲容器對地面壓強的變化量△p甲為4500Pa。