Question

如圖所示，某同學在薄壁平底試管中裝入一些沙子，管口密封，制成一個“土密度計”．當把它放入水中豎直漂浮時，試管露出水面的高度為5cm；當把它放入某液體中豎直漂浮時，試管露出液面的高度為7cm．若試管和沙子的總質量為30g，試管的橫截面積為1.5cm²，水的密度為1×10³kg/m³．求：
（1）在水中漂浮時，水對試管底部的壓強．
（2）某液體的密度．（取g=10N/kg，保留兩位小數）

Answer 1

分析：（1）根據物體的漂浮條件可以求試管受浮力；有了浮力，①可以依據浮力產生的原因F_浮=F_下-F_上求下表面的壓力（F_上=0），再利用壓強公式求試管下表面受到的壓強；②利用阿基米德原理求排開水的體積，再利用V=sh求浸入的深度，利用液體壓強公式求試管下表面受到的壓強．
（2）由（1）知道試管的長度l，則可以求出浸入水中和某液體中的深度、體積，然后利用阿基米德原理分別求浮力，聯立方程組求某液體密度．

解答：解：（1）試管和沙子的總重G=mg=30×10^-3kg×10N/kg=0.3N
由于試管漂浮在水面，F_浮=G=0.3N
設試管長為l，則在水中浸入深度為l-0.05m
∵F_浮=ρ_水g（l-l₁）S=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（l-0.05m）×1.5×10^-4m²=0.3N
∴l=0.25m；
解法一：
根據浮力產生的原因，試管底部受到向上的壓力為F_壓=F_浮=G=0.3N
水對試管底部的壓強為p=

F壓

S

=

0.3N

1.5×10-4m2

=2×10³Pa；
解法二：∵浸入水中深度：
l₁=l-0.05m=0.25m-0.05m=0.2m
∴水對試管底部的壓強．
p=ρ_水gh=ρ_水gl₁
=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2×10³Pa；
（2）當試管漂浮于水面時，F_浮=G=ρ_水gl₁S-------①
當試管漂浮于某液體時，l₂=l-0.07m=0.25m-0.07m=0.18m
F_浮′=G=ρ_液gl₂S-------②
由①②兩式得ρ_液=

l1

l2

ρ水=

0.2m

0.18m

×1×10³kg/m³
=1.11×10³kg/m³
答：（1）在水中漂浮時，水對試管底部的壓強為2×10³Pa；
（2）某液體的密度1.11×10³kg/m³．

點評：此題考查學生對液體壓強的計算、浮力產生的原因、物體的浮沉條件、阿基米德原理的使用；此題的關鍵是根據浮力求排開液體的體積，進而求浸入深度，這是此題的突破點．