Question

（2007?大興區一模）育興學校科技小組的同學們制作了一個多檔位電熱器模型．為了分析接入電路的電阻對電熱器的電功率的影響，他們將電表接入電路中，其電路圖如圖所示．電源兩端電壓不變，R₁=10Ω．開關S₁、S₂都斷開或都閉合所形成的兩個電路狀態中，電壓表示數之比為1：6；R₂消耗的最大功率和最小功率之比為4：1；R₃的最小功率為0.8W．求：
（1）電阻R₂的值；
（2）電源兩端的電壓；
（3）這個電熱器可能有多少個檔位，分別是多少瓦．

Answer 1

分析：先畫出開關S₁、S₂都斷開或都閉合時的等效電路圖．
（1）根據圖2可知電壓表的示數和電源的電壓相等，根據串聯電路的電流特點和電阻的串聯特點表示出圖1中電壓表示數與電源的電壓之間的關系得出電阻之間的關系，根據P=I²R表示出圖1中R₂消耗的最小功率，根據P=

U2

R

表示出R₂消耗的最大功率，利用R₂消耗的最大和最小功率之間的關系得出電源的電壓，根據歐姆定律表示出電路中的總電阻得出之間的關系，聯立等式即可得出電阻R₂的值；
（2）先求出R₃的阻值，根據P=I²R表示出R₃的最小功率即可求出圖1中電路中的電流，再根據電阻的串聯和歐姆定律求出電源的電壓；
（3）根據開關的閉合、斷開得出電路不同的連接方式、再分別根據P=I²R和P=

U2

R

求出對應的電功率．

解答：解：開關S₁、S₂都斷開時，等效電路圖如圖1所示；開關S₁、S₂都都閉合時，等效電路圖如圖2所示．

（1）由圖1和圖2可知，U₁：U=1：6，
∵串聯電路中各處的電流相等，且電路中總電阻等于各分電阻之和，
∴根據歐姆定律可得：

U1

U

=

IR1

I(R1+R2+R3)

=

R1

R1+R2+R3

=

1

6

，
整理可得：R₂+R₃=5R₁--------①
∵R₂消耗的最大功率和最小功率之比為4：1，
∴根據P=I²R和P=

U2

R

可得：

U2

R2

=4I²R₂，
解得：U=2IR₂，即

U

I

=2R₂，
電路中的總電阻：
R₁+R₂+R₃=

U

I

=2R₂-----------②
由①②可得：R₂=3R₁=3×10Ω=30Ω；
（2）R₃=5R₁-R₂=5×10Ω-30Ω=20Ω，
∵P=I²R，P₃=0.8W，
∴圖1中的電流：
I=

P3 R3

=

0.8W 20Ω

=0.2A，
電源的電壓：
U=I（R₁+R₂+R₃）=0.2A×（10Ω+30Ω+20Ω）=12V；
（3）由電路圖可知，當開關S₁和S₂均斷開時，R₁、R₂、R₃串聯，
此時電路中的總功率：
P₁=UI=12V×0.2A=2.4W；
當開關S₁閉合、S₂斷開時，電路為R₃的簡單電路，
電路中的總功率：
P₂=

U2

R3

=

(12V)2

20Ω

=7.2W；
當開關S₁斷開、S₂閉合時，電路為R₁的簡單電路，
電路中的總功率：
P₃=

U2

R1

=

(12V)2

10Ω

=14.4W；
當開關S₁和S₂均閉合時，R₁、R₂、R₃并聯，
電路中的功率：
P₄=

U2

R1

+

U2

R2

+

U2

R3

=

(12V)2

10Ω

+

(12V)2

30Ω

+

(12V)2

20Ω

=14.4W+4.8W+7.2W=26.4W．
答：（1）電阻R₂的值為30Ω；
（2）電源兩端的電壓為12V；
（3）這個電熱器可能有四個檔位，分別是2.4W、7.2W、14.4W、26.4W．

點評：本題考查了串聯電路和并聯電路的特點以及歐姆定律的應用，關鍵是開關閉合、斷開時電路連接方式的辨別和畫出電路最大以及最小電功率的等效電路圖．